[Math] What is a manifold?

수학 2014. 8. 21. 09:44

<Manifold란?>

Wikipedia 정의에 따르면,

In mathematics, a manifold is a topological space that resembles Euclidean space near each point. More precisely, each point of an n-dimensional manifold has a neighbourhood that is homeomorphic to the Euclidean space of dimension n. ... 

(출처: http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold)

...라고 한다.-0-

 

나같은 비수학전공자에게는 전혀 와닿지 않은 문장이라서 '한방에' 이해하기 쉬운 설명을 찾던 중

다음과 같은 글을 발견! 

shortest description i've heard that i thought helped was that a manifold surface is one in which every edge is adjacent to two faces. i believe that property is necessary and sufficient.

e.g. a triangle is not a manifold surface - each edge is adjacent to a single face. a cube is a manifold surface. if you take one face away from the cube, it is no longer manifold.

some properties that come out of this - no open boundaries (like the cube missing a face), the surface is "air-tight", it has a distinct inside and outside surface, etc.

non-manifold is any surface that doesn't meet the requirement for a manifold surface.

(출처: https://www.opengl.org/discussion_boards/showthread.php/164373-what-is-manifold-and-non-manifold-surface)

 

딱 와닿지 않은가?? :D

쉽게 그림으로 보면 아래와 같은 것들이 manifold라고 할 수 있겠다.

(출처: http://mathworld.wolfram.com)

 

 

<Manifold의 차원?>

Manifold의 차원이란 manifold 상의 local area에 대응하는 Euclidean space의 차원에 대응한다.

예를 들면, 2차원 원의 경우 1차원 manifold라고 할 수 있는데, 원을 여러 부분으로 잘게 자르면 각 부분은 1차원 직선에 대응하기 때문이다.

비슷하게 3차원 구의 경우는, 구를 잘게 자른 각 patch는 2차원 평면에 대응하므로 2차원 manifold라고 할 수 있다.